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函数总复习——赵老师

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总复习 赵老师课堂

[学习内容] 1、函数与反函数的概念。 2、函数的解析式、定义域、值域。 3、函数的单调性、奇偶性与周期性。 4、指数函数与对数函数。 5、函数的图象。 6、函数的最值。 7、函数的应用。

[学习要求] 1、了解映射的概念,理解函数的概念。 2、了解函数的单调性的概念,掌握判断 一些简单函数的单调性的方法。 3、了解反函数的概念及互为反函数的函 数图象间的关系、会求一些简单函数的 反函数。

4、理解分数指数幂的概念,掌握有理指 数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、 图象和性质。 5、理解对数的概念,掌握对数的运算性 质。掌握对数函数的概念、图象和性质。 6、能够运用函数的性质,指数函数和对 数函数的性质解决某些简单的实际问题。 7、理解并能应用函数与方程等数学思想 和方法解决问题,提高思维、解题能力。

知识结构 单调性 指数函数 映射 函数 对数函数 奇偶性 幂函数 一一 反函数 应用 映射

[学习指导] 1、映射: A f B a d ①映射:f:A→B 理解: b e c m f:A→B ②一一映射:A中元素不同,象也不同。 B中每个元素都有原象。

2、函数: ①定义:y=f(x) ②三要素:定义域、值域、对应法则 ③表示法:解析法、列表法、图象法 ④复合函数的定义:若y=f(u)、u=g(x), 则y关于x的函数y=f[g(x)]叫函数f(u)和 g(x)的复合函数,u叫中间变量。

3、反函数: ①定义:y=f(x)的反函数记作y=f-1(x)。 ②图象:y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线 y=x对称。 ③求y=f(x)的反函数的步骤: 1)把y=f(x)看成是x的方程,解出x。 2)互换x、y。 3)求出反函数的定义域(由原函数值 域求得)

4、求函数解析式的方法: ①待定函数法 ②换元法(凑配法) ③方程组法 ④代入法 5、求函数的定义域: ①由解析式,求定义域(方法、原则) ②求抽象函数的定义域(解析式意义)

6、求函数的值域常见方法: ①反函数法 ②分离常数法 ③配方法 ④判别式法 ⑤换元法 ⑥单调区间法 ⑦图象法 ⑧均值不等式法 ⑨数形结合法 ⑩导数法

7、函数的单调性: ①定义:②性质:③复合函数的单调性 ④判断函数单调性的方法: 1)定义 2)图象 3)利用已知函数的增减性 4)利用复合函数的增减性 )利用导数 5 1)方法:定义 ⑤证明函数的单调性: 2)步骤

8、函数的奇偶性: ①定义 ②图象性质 ③函数的奇偶性,依赖于关于原点的对 称区间。 ④运算性质:奇×奇=偶、偶×偶=偶 奇×偶=奇、奇+奇=奇、偶+偶=偶 ⑤非奇非偶函数的判定: 9、函数的周期性:f(x+T)=f(x) (T  0)

10、指数函数与对数函数。 指数函数 对数函数 x y=a (a>0,a≠1) y=logax(a>0,a≠1) y=ax y=ax y=logax (a>1) (01) y 图 象 O x y=logax O x (0

指数函数 对数函数 (1)定义域:R (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过点(0,1),即 (3)过点(1,0),即x=1时, x=0时,y=1。 y=0。 性 (4)当a>1时,在 (4)当a>1时,在(0,+∞) 质 R上是增函数; 上是增函数; 当0

11、函数图象的变换: ①平移变换:y=f(x) a > 0 , 左 移 a 个 单 位 y=f(x+a) a<0,右移|a|个单位 b>0,上移b个单位 y=f(x) b < 0 , 下 移 | b | 个 单 位 y=f(x)+b ②伸缩变换: 横坐标变化到原来的 1 倍 y=f(x) w y=f(wx),(w>0) 纵坐标变化到原来的A倍 y=f(x) y=Af(x),(A>0)

③对称变换:图象关于y轴对称—— -x→x。 图象关于x轴对称—— -y→y。 -x→x 图象关于原点对称 -y→y x→y 图象关于y=x对称 y→x y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴下方 的部分,以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余 的部分不变。 y=f(|x|)的图象是当x≥0时,图象为y=f(x)的图 象。x<0的部分是由y轴右侧的图象以y轴为对 称轴对称得到。

12、函数最值的求法: 13、函数的应用: 可考虑一些①与平面几何 ②与利润 ③与税率 ④与增长率 ⑤与产量、总 量 ⑥与利率等有关的应用问题。

[高考试题回顾] 1、若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b、 ab≠0,则g(b)等( A ) (A)a (B)a-1 (C)b (D)b-1 2、设集合A和B都是正整数集合N*,映射 f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中 的元素2n+n,则在映射f下,象20的原素是 ( C ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

2 3、已知函数f(x)= x ,那么 1x2 7 f(1)+f(2)+f( 1 )+f(3)+f( 1 )+f(4)+f( 1 )= 2 3 4 2

4、(01年)设f(x)、g(x)都是单调函 数,有如下四个命题: (1)若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则 f(x)- g(x)单调递增。 (2)若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则 f(x)-g(x)单调递增。 (3)若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则 f(x)-g(x)单调递减。 (4)若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则 f(x)-g(x)单调递减。 其中正确的命题是( C ) (A) (1) (3) (B) (1) (4) (C) (2) (3) (D) (2) (4)

5、函数y=x2+bx+c, (x∈[0,+∞)是单调函数的充要 条件是( A ) (A)b≥0 (B)b≤0 (C)b>0 (D)b<0

1 7、(12年)函数y=1  的图象( B ) y x  1 y y y 1 1 O x O x -1O x O -1 x (A) (B) (C) (D) 法1:图象变换 选(B) 1 1 1 1 y  x  y  x1  y   x1  y 1 x1 法2:观察图象特征:当x=0时,y=2排除 (A) (D) , 当x=2时,y=0排除(C)

[典型例题解析] 例1:已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的 图象经过点(2,1)则F(x)=[f1(x)]2-f1(x2) 的值域为 。 分析:∵f(x)图象过点(2,1)。∴可求出b, 即f(x)=3x-2。这是一个求函数值域的题目。 首先要求出其解析式。求函数F(x)的解析 式,求其反函数f1(x)的表达式是基础。 解析式的意义是关键。复合函数F(x)的定 义域是保证。不注意即会导至错误。

解:∵f(x)的图象过点(2,1)。∴有32-b=1, 即b=2 ∴f(x)=3x-2 1 由此可求得:f (x)=2+log3x。(1≤x≤9) 1 2 2 2 ∴f (x )=2+log3x 。1≤x ≤9 1≤x≤3 1 2 1 2 2 2 故F(x)=[f (x)] -f (x )=(2+log3x) -(2+log3x ) 2 =(log3x+1) +1 ∵1≤x≤3 0≤log3x≤1 即2≤F(x)≤5

例2:设奇函数f(x)的定义域为R,且 f(x+4)=f(x)当x∈(4,6]时f(x)=2x+1。求f(x)在 [-2,0)上的表达式。 分析:利用f(x+4)=f(x),把x∈[-2,0)转化为 (4,6]上,方可用上已知条件,求出表达式. 解:若-2≤x<0则4<4-x≤6 ∵当x(4,6]时,f(x)=2x+1 ∴f(4-x)=24-x+1 又∵f(x+4)=f(x)且f(x)为R上的奇函数。 ∴f(4-x)=f(-x)=-f(x) 即f(x)=-f(4-x)=-24-x-1

例3:满足方程 1  x  1  x   a 的 实数a的取值范围是 (A) [0, 2 ] (B)[0,2] (C)[ 2 ,2] (D)( 2 ,2) 分析:实际是一道求函数值域的问题。 法1:可用平方的方法:a2=2+2 1 x2 ∴2≤a2≤4 即 2 ≤a≤2,选C 法2:也可考虑用特殊值代入验证。 当x=0时,a=2 排除A、D。 观察B、C用0检验,当a=0时, 1  x  1  x  0 不可能。 ∴选C

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  • 标题:函数总复习——赵老师
  • 分类: 小初高
  • 标签: 数学 函数 高一
  • 简介: 期末了,赵老师带你一起复习高一数学必修1函数相关知识。

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