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绝对值不等式 ————赵老师

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选讲内容 含绝对值的不等式 赵⽼师

⎧a a ≥ 0 ⎪ 定义 a = ⎨ ⎪− a a < 0 ⎩ 我们知道,实数与数轴上的点是一 一对应的 -a 0 a x 几何意义是数轴上a对应的点到原点的距离

实数 如果 a 是正数,那么 ︱x︱a x<-a或x>a 几何意义: -a 0 a x a=0或a<0时上述结果还成立吗? 想一想 为什么?

J 含绝对值的不等式的主要类型及解法 解绝对值不等式的思路是什么?常见方法有哪些? 解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号, 主要方法有:定义法、平方法、划分区间讨论 法或利用绝对值的几何意义。

例1 : 解不等式 (1). x − 9 < x −1 (2).x 2 − 2x > x

解:(1 )(平⽅法) x − 9 < x −1 ⇔ (x − 9)2 < (x −1)2 ⇔ x > 5 ∴原不等式的解集为{x︱x>5} 返回 例2

(1)(⼏何意义) ︱x-9︱<︱x-1︱的⼏何意义:数轴 上x对应的点到9对应的点的距离⼩于 x对应的点到1对应的点的距离的点集 1 5 9 x 原不等式的解集为{x︱x>5} 返回 例2

(1)图象法 x − 9 < x −1 y y=︱x-1︱ y=︱x-9︱ 0 1 5 9 x 原不等式的解集为{x︱x>5} 返回 例2

x − 9 < x −1 (1)分段讨论 ①当x < 1时,原不等式等价于 9 − x < 1− x, 即8 < 0,不成立; ②当1≤ x ≤ 9时,原不等式等价于 9− x < x −1,即x > 5,得5 < x ≤ 9; ③当x > 9时,原不等式等价于 x− 9 < x−1,即9 > 1,显然成立,得x > 9; 综上所述 原不等式的解集为{x︱x>5} 返回 例2

(2) x 2 − 2x > x 解: (公式法) 原不等式等价于 x2-2x>x或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或 03}

解:(2) x 2 − 2x > x (图象法) y y = x y = x 2 − 2x 3 2 -1 0 1 2 3 x ∴原不等式的解集为{x︱x<0或03}

例2 2011年全国 x+1 − x−1 设函数f (x) = 2 , 卷Ⅱ23题 求使f (x) ≥ 2 2的x的取值范围. x 3 解:由于y = 2 是增函数,f(x) ≥ 2 2等价于 x +1 − x −1 ≥ , 2 (1)当x ≥ 1时,x +1 − x −1 = 2,上式恒成立 (2)当 −1 < x < 1时,x +1 − x −1 = 2x, 3 3 上式化为2x ≥ .即 ≤ x < 1 2 4 (3)当x ≤ −1时,x +1 − x −1 = −2,上式无解 ⎡3 综上,x的取值范围是 ,+ ∞). ⎣⎢4

变式 若关于x的不等式︱x+1︱-︱x-1︱-2 (应⽤含绝对值不等式的性质) 由 a − b ≤ a ± b ≤ a + b

2 不等式 x − a x + 2 ≥ 0 对于任意实数x 恒成⽴,求实数a的取值范围 a ≤ 2 2 2 提示1.当x ≠ 0时,整理得a ≤ x + x 提示2.由y = x 2 + 2和y = a x的图象,数形结合

x 2 − a x + 2 ≥ 0 y = x 2 + 2 y y = a x 2 0 1 2 3 x a ≤ 2 2

课堂小结 1  绝对值不等式的性质 2  解含有绝对值的不等式常⽤⽅法: 定义法、平⽅法、⼏何意义等 3 含绝对值的不等式的应⽤ 4 注意培养⾃⼰等价转化、数形结合、分类 讨论的数学思想 作业 1,总结含两个绝对值的不等式解法。 2,教材解析本节课练习题。

2017.1.6

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